【意味】 敬意を表する、称賛の、無料の
complimentaryは、「称賛の」や「無料の」などの意味を持つ形容詞です。
元になっている単語は、語尾のaryを取ったcomplimentで、「敬意」や「敬意を表する」という意味になります。
どちらも敬意を表す意味合いは共通していますが、complimentaryは更に発展して「無料の」という意味も持つので注意が必要です。
無料と言えばfreeという単語も思い浮かびますが、complimentaryはあるサービスに付随している無料の何かを表す時に使われます。
たとえば、Free Wi-Fiと言えば、誰でも無料で使えるWi-Fiのことを意味します。
一方、complimentary Wi-Fiと言ったなら、たとえばホテルに泊まった人だけが付随サービスとして無料で使えるWi-Fiを指します。
同じ無料とは言え、サービスに付随しているかどうかの違いがあることが分かると思います。
ちなみに、
Appleのウェブサイトの「無料サポート」という言葉を英語にする時は「Complimentary Support」と書かれています。これはAppleの製品を買うことで得られる無料サービスのため、freeではなくcomplimentaryが使われています。
さて、覚え方ですが、この単語の元になった言葉は英語のcomplete（完全な）を意味するラテン語です。
これはスペルが似ているので、なんとなく想像できるのではないでしょうか？
そのため、complete（完全な）な状態なので、褒められるべきであり「称賛の」という意味につながると想像すればOKです。
また、completeな状態にするために必要な追加サービスという意味で、「無料の」という意味合いが生まれたという背景を理解すれば、この意味も覚えられます。
あるサービスをcompleteな状態にしたければ、無料のサービスを付けたくなる気持ちは分かりますよね。
つまり、
complimentary
↓
complete（完全な）？ →無料で何かしてでも完璧にする。完璧なものは称賛に値する。というイメージ
↓
称賛の、無料の
と想像できれば意味を導き出すことができます。