【意味】 保護施設、亡命、避難所、収容所
asylumは「保護施設」や「亡命」を意味する単語です。
ニュースなどでは、asylum seekers（亡命希望者）という組み合わせで登場することもよくあります。
asylumと画像検索すると分かるように、保護や安全を求めて訪れる、シェルターのような場所をイメージするとこの単語のイメージが分かるかと思います。
さて、覚え方ですが、asylumにはslumという単語が隠れており、発音も若干似ています。
slumといえば、スラム街という言葉がある通り、貧しい人たちが集まっている区域のことを意味します。
そして、貧しい人は、時に保護施設のような場所を利用することがありますよね。
このようにイメージしていけば、単語の意味が分かるのではないでしょうか。
つまり、
asylum
↓
a、、slum（スラム）？→貧しい人のイメージ
↓
保護施設、亡命、避難所
と想像できれば、意味を導き出すことが出来ます。
補足：ところで、asylumに似た単語にrefugee（難民）がありますが、その違いはなんでしょうか？
どうやら、asylum seekers（亡命希望者）が適切な機関で正式に認められた場合、彼らはrefugee（難民）となるようです。